ax + b = z2

Théorème 1a

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, ax + b est carré parfait si et seulement s’il existe au moins un entier où k ∈ N = {0, 1, 2, 3, …} , ([b/a] représente la partie entière de b/a) Pour chaque entier δ, les solutions entières de cette équation sont : , (n∈N)

• Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, pour résoudre l’équation ax + b = carré parfait (où x doit aussi être un entier) :
  1. on calcule d’abord l’entier où [b/a] représente la partie entière de b/a.
  2. ensuite on calcule l’ensemble des valeurs positives, si elles existent, de en commençant par k=0, k=1, k=2… ainsi de suite jusqu’à ce que la valeur de Δ soit négative.
  • Si aucune valeur de √∆ n’est un nombre entier, alors ax + b n’est pas un carré parfait.
  • Si au moins une valeur de √∆ est un nombre entier, alors ax + b = z2 admet un nombre infini de solutions.

Remarques

• b₀ < |a|
• δ ≤ |a|, (si δ = a, alors z1 = z2 = |a|n)
• Si ax + b est carré parfait, alors le nombre de solutions est infini
• Pour chaque entier δ, les solutions z forment des suites arithmétiques de raison |a| et de premiers termes (|a| – δ)/2 pour z1 et (|a| + δ)/2 pour z2

Exemples

1. Calculer l’ensemble des entiers x pour que 17x – 11 soit carré parfait.
   b₀ = 17[(-11) / 17] – 11 = 17 x 0 – 11 = -11 Δ = 17² + 44 – 68k = 333 – 68k (k∈N)

   k =	0	1	2	3	4
   Δ =	333	265	197	129	61
   δ = √∆ =	∉ N

   Aucune valeur de δ n’appartient à N, donc il n’existe pas d’entier x tel que 17x – 11 = carré parfait.


2. 7x + 28 peut-il être carré parfait ?
   b₀ = 7[28 / 7] – 28 = 0 Δ = 7² – 0 – 28k = 49 – 28k, (k∈ℵ)

   k =	0	1
   Δ =	49	21
   δ = √∆ =	7	∉ N

   δ = a donc z1 = z2 = an. z = 7n,
   7x + 28 est carré parfait si x est de la forme 7n² – 4, (n∈N)

   δ = 7	n =	0	1	2	…
   	z =	0	7	14
   	x =	-4	3	24

   L’ensemble des solutions est S = {-4; 3; 24; 59; 108; 171; 248; 339; 444; …}


3. Calculer l’ensemble des solutions de -8x + 33 = z².
   b₀ = -8[33 / (-8)] – 33 = -1 Δ = (-8)² + 4 – 32k = 68 – 32k, (k∈N)

   k =	0	1	2
   Δ =	68	36	4
   δ = √∆ =	∉ N	6	2

   δ = {2; 6}

   δ = 6	n =	0	1	2	…
   	z1 =	1	9	17
   	x1 =	4	-6	-32
   	z2 =	7	15	23
   	x2 =	-2	-24	-62
   δ = 2	n =	0	1	2	…
   	z1 =	3	11	19
   	x1 =	3	-11	-41
   	z2 =	5	13	21
   	x2 =	1	-17	-51

   L’ensemble des solution est S = {… -62; -51; -41; -32; -24; -17; -11; -6; -2; 1; 3; 4}