Puissances parfaites
ax2 + bx + c = z2

Théorème 1a
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, ax + b est carré parfait si et seulement s’il existe au moins un entier où k ∈ N = {0, 1, 2, 3, …}
, ([b/a] représente la partie entière de b/a)
Pour chaque entier δ, les solutions entières de cette équation sont :
, (n∈N)
  • Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, pour résoudre l’équation ax + b = carré parfait (où x doit aussi être un entier) :
    1. on calcule d’abord l’entier où [b/a] représente la partie entière de b/a.
    2. ensuite on calcule l’ensemble des valeurs positives, si elles existent, de en commençant par k=0, k=1, k=2… ainsi de suite jusqu’à ce que la valeur de Δ soit négative.
    • Si aucune valeur de √∆ n’est un nombre entier, alors ax + b n’est pas un carré parfait.
    • Si au moins une valeur de √∆ est un nombre entier, alors ax + b = z2 admet un nombre infini de solutions.
Remarques
  • b0 < |a|
  • δ ≤ |a|, (si δ = a, alors z1 = z2 = |a|n)
  • Si ax + b est carré parfait, alors le nombre de solutions est infini
  • Pour chaque entier δ, les solutions z forment des suites arithmétiques de raison |a| et de premiers termes (|a| – δ)/2 pour z1 et (|a| + δ)/2 pour z2
Exemples
  1. Calculer l’ensemble des entiers x pour que 17x – 11 soit carré parfait.
    b0 = 17[(-11) / 17] – 11 = 17 x 0 – 11 = -11 Δ = 172 + 44 – 68k = 333 – 68k (k∈N)
    k = 0 1 2 3 4
    Δ = 333 265 197 129 61
    δ = √∆ = ∉ N
    Aucune valeur de δ n’appartient à N, donc il n’existe pas d’entier x tel que 17x – 11 = carré parfait.

  2. 7x + 28 peut-il être carré parfait ?
    b0 = 7[28 / 7] – 28 = 0 Δ = 72 – 0 – 28k = 49 – 28k, (k∈ℵ)
    k = 0 1
    Δ = 49 21
    δ = √∆ = 7 ∉ N
    δ = a donc z1 = z2 = an. z = 7n,
    7x + 28 est carré parfait si x est de la forme 7n2 – 4, (n∈N)
    δ = 7 n = 0 1 2
    z = 0 7 14
    x = -4 3 24
    L’ensemble des solutions est S = {-4; 3; 24; 59; 108; 171; 248; 339; 444; …}

  3. Calculer l’ensemble des solutions de -8x + 33 = z2.
    b0 = -8[33 / (-8)] – 33 = -1 Δ = (-8)2 + 4 – 32k = 68 – 32k, (k∈N)
    k = 0 1 2
    Δ = 68 36 4
    δ = √∆ = ∉ N 6 2
    δ = {2; 6}
    δ = 6 n = 0 1 2
    z1 = 1 9 17
    x1 = 4 -6 -32
    z2 = 7 15 23
    x2 = -2 -24 -62
    δ = 2 n = 0 1 2
    z1 = 3 11 19
    x1 = 3 -11 -41
    z2 = 5 13 21
    x2 = 1 -17 -51
    L’ensemble des solution est S = {… -62; -51; -41; -32; -24; -17; -11; -6; -2; 1; 3; 4}

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